Поступление в Школу «Интеллектуал»

Вариант вступительного экзамена в 5 класс. 2020 год

Математика По выбору

№1. Галя обнаружила, что сумма точек на противоположных гранях игрального кубика всегда равна семи. Она взяла четыре одинаковых игральных кубика и склеила их, приложив друг к другу одинаковыми гранями. После этого Галя некоторые грани закрасила белой краской. Сколько точек было на грани, отмеченной «звёздочкой»?

(А) 1 (Б) 2 (В) 3 (Г) 5 (Д) нельзя определить

Ответ: (Г) 5

Решение. Кубик, у которого видно три грани, дает информацию: если смотреть на 2 так, чтобы 6 было сверху, то 1 снизу, 3 справа, 4 слева, 5 на задней грани. Все кубики одинаковы и склеены по одинаковым граням. На ближнем левом кубике напротив 1 будет 6. Значит, на дальнем левом кубике спереди будет тоже 6. Рассуждая так же, получим, что у дальнего левого кубика на правой грани 3. Выбрать между 2 и 5 для верхней грани можно, мысленно повернув правый передний кубик: если смотреть на 6 так, чтобы 3 была справа, то при этом 2 внизу, а 5 вверху.

№2. На рисунках A, Б, В, Г все детали состоят из семи кубиков. Какую из этих деталей не получится составить из кусочков, нарисованных в рамочке?

             (А)                          (Б)                                (В)                        (Г)                      (Д) все получится

Ответ: (Д) все получится

Решение. Даны кусочки по 3 и 4 кубика. В каждой детали 7 кубиков, значит, слева внизу у детали А «дырка», и везде надо использовать левую верхнюю деталь (7=3+4). Используя по две из них, можно составить любую из нарисованных деталей. Кусочки можно поворачивать. (А) левый нижний + левый верхний; (Б) два верхних; (В) левый верхний + правый нижний; (Г) два верхних.

№3. Попугаи Кеша, Бася и Гоша очень любят орехи. Гоше дали 6 орехов, а Кеше и Басе по 12 таких же орехов. Кеша ест в два раза быстрее, чем Бася. Гоша ест в два раза медленнее, чем Бася. Грызть орехи все попугаи начали одновременно. Кеша съел свою порцию за три минуты, после чего они с Басей вдвоём доели порцию Баси. Через сколько минут после этого Гоша доел свои орехи?

(А) 5 мин (Б) 4 мин (В) 3 мин (Г) 2 мин (Д) 1 мин

Ответ: Г) 2 мин

Решение. Кеша съел 12 орехов за 3 минуты. Это даёт скорости еды для всех попугаев: Кеша ест 4 ореха в минуту, Бася ест 2 ореха в минуту, Гоша ест 1 орех в минуту. Когда Кеша всё свое съел, Бася успел съесть 6 орехов. Вдвоем Кеша с Басей за минуту съедают как раз 6 орехов. То есть, Басину порцию они доели за минуту. Гоша за эти 4 минуты с начала обеда съел 4 ореха, ему оставалось еще 2. Поэтому он всё доел еще через 2 минуты.

№4. Пятиклассницы записали в серые клетки на рисунке какие-то числа. Потом заполнили белые клетки, составив для этих чисел таблицу умножения. После этого несколько чисел стёрли, а несколько – заменили буквами. Какие две из букв заменяют одно и то же число?

(А) И и К; (Б) Л и Ы; (В)К и О; (Г) Ь и Н; (Д) Ш и Ц.

Ответ: (Б) Л и Ы

Решение. Пользуясь известными ответами в таблице умножения, восстановим в верхней строке в самой левой серой клетке 3; в левом столбце верхнее число 8. Число 27 можно представить только как 3*9=9*3, в следующей клетке справа стоит 6=3*2=2*3=6*1=1*6, значит, в левом (сером) столбце над известной цифрой 6 должна стоять 3, а в верхней строке над буквой К стоит 9. После этого восстановим в левом сером столбце 4 слева от Л (т.к. 36=4*9). Теперь ясно, что в верхней серой строке слева от 7 стоит 2 (т.к. 8=4*2).

Все серые клетки заполнены. Верхняя строка: 3, 9, 2, 7. Левый столбец 8, 4, 3, 6. Заполняем до конца таблицу умножения и видим, что Л=4*3=12=6*2=12=Ы.

№5. Гномы Торин, Балин и Двалин соревновались в беге на 300 метров. Они начали бег одновременно. Каждый из них бежал с постоянной скоростью. Когда Торин финишировал, Двалину до конца дистанции оставалось 100 метров, а Балин был на 40 м впереди Двалина. Когда Балин финиширует, то на каком расстоянии до конца дистанции будет Двалин?

(А) 20 м (Б) 30 м (В) 40 м (Г) 50 м (Д)60 м

Ответ: (Г) 50 м

Решение. Торин пробежал 300 м за то же время, что Двалин пробежал 200 м, а Балин 240 м. За то время, пока Балин пробегает 60 метров, Двалин пробегает 50 метров (240=4*60, 200=4*50). Балину осталось 60 м, за это время Двалин пробежит 50 м. Двалин сейчас в 100 метрах от финиша. Значит, когда Балин финиширует, Двалину останется 50 метров до финиша.

№6. Незнайка играет в числа по таким правилам: если число делится на 3 без остатка, то от числа отнимается 1. Если число при делении на 3 дает в остатке 1, то к нему прибавляется 2. Если число при делении на 3 дает в остатке 2, то от него отнимается 2. В начале игры Незнайка записал число 10000. Какое число у него получится после 2020 ходов?

(А) 10000 (Б) 6974 (В) 6970 (Г) 3946 (Д) 3940

Ответ: (Б) 6974

Решение. Начнем играть вместе с Незнайкой и будем следить за тем, в какой последовательности появляются остатки от деления на 3.

10000 (ост 1) →10002 (ост 0) →10001 (ост 2) →99999 (ост 0) →99998 (ост 2) →99996 (ост 0) → 99995 (ост

2) → 99993 (ост 0) …

Видим, что начиная со второго числА, чИсла, делящиеся на 3, чередуются с теми, что дают остаток 2. За каждые два хода Незнайка возвращается к тому же остатку, который был, а само число за эти два хода уменьшается на 3. Отдельно учтем первые два хода. Тогда Незнайке надо посчитать, к какому числу он придет после 2018 ходов, начав с числа 10001. За 2018 ходов это число уменьшится на три 2018/2=1009 раз. Незнайка считает: 10001 – 1009*3 = 6974.

№7. В прямоугольнике на клетчатой бумаге закрасили несколько клеток. Укажите, из каких деталей, нарисованных на рисунках (1)–(4),можно сложить закрашенную область?

А) 1 и 4   Б) 2 и 4   В) 2 и 3   Г) 1 и 3   Д) 3 и 4

Ответ: (Б) 2 и 4

Решение. Подсчитаем число клеток во всех фигурах: в закрашенной фигуре их 17, в первой детали 9, во второй детали 10, в третьей детали 8, в четвертой – 7. Поскольку 17=9+8=10+7, то надо проверить только два варианта: Б) детали 2 и 4 или Г) детали 1 и 3. Ответ Б) подходит, ответ Г) нет.