Поступление в Лицей «Вторая Школа»

Устный вступительный экзамен для поступающих в 6-й класс (2022 год)

№1. Веса. Малыш сравнивает свои игрушки на весах. Оказалось, что лодку
уравновесили мяч и 2 кубика, а лодку с кубиком уравновесили 2 мяча. Сколько
кубиков уравновесят лодку

№2. Лжецы. В классе 30 учеников, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Их
рассадили за двухместные парты, после чего каждый заявил: «мой сосед по парте
лжец». Затем их пересадили. Мог ли после этого каждый заявить, что его сосед по
парте рыцарь? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут).

№3. Шары. Есть 7 одинаковых на вид шаров, один из которых волшебный. Можно
поместить в магический прибор 3 шара, после чего он укажет на волшебный, если он
есть, либо на произвольный, если его нет. Можно ли за 3 проверки найти волшебный
шар?

№4. Богатыри. 33 богатыря на пяти лодках приплыли к царю Салтану, а уплыли на
шести (царь подарил). Докажите, что какие-то 2 богатыря и туда и обратно плыли
вместе.

№5. Дороги. Министр хочет построить 6 новых городов и соединить каждые 2 из них
дорогой. Начертите такую схему расположения городов и дорог, чтобы на ней было
только 3 перекрестка и на каждом из них пересекалось ровно 2 дороги. Дороги не
обязательно прямые.

№6. Делимость. На окружности отмечены 49 точек, пронумерованных в некотором
порядке нечетными числами 3, 5, 7, … , 99. Если один номер делится на другой, то
между точками с этими номерами проводится отрезок. Докажите, что найдутся два
отрезка, которые пересекаются внутри окружности.

№7. Автобусы. Между городами A и B ездят автобусы с одинаковой постоянной
скоростью. Автобус, выехавший из A в полдень, и автобус, выехавший из B в 15:00,
встретились на расстоянии 500 км от A. Автобус, выехавший из A в 14:00, и автобус,
выехавший из B в 11:00, встретились на расстоянии 300 км от A. На каком расстоянии
от A встретятся автобусы, выехавшие из A и из B одновременно?

№8. Ребус. Что больше: ДВА × ШЕСТЬ или ДВАДЦАТЬ ? Одинаковыми буквами
обозначены одинаковые цифры, разными – разные.

№9. Суммы. В каждую клетку прямоугольника 10×19 записали одно из чисел 0 или 1,
после чего подсчитали суммы чисел в каждом столбце и в каждой строке. Какое
наибольшее количество различных сумм могло получиться?

№10. Игра. Играют двое. Первый выписывает четырехзначное число, а второй
дописывает 4 цифры слева или 4 цифры справа так, чтобы получилось
восьмизначное число. Второй побеждает, если итоговое число будет точным
квадратом. Может ли первый ему помешать?