Поступление в Лицей «Вторая Школа»

Устный вступительный экзамен для поступающих в 7-й класс (2021 год)

№1. Числа. Петя выписывает подряд натуральные числа 1, 2, 3, 4, …. Но по невнимательности каждое 7 число он пропускает. Какое число он напишет сотым?
№2. Фишки. Есть полоска 1х10. Каждым ходом разрешается ставить фишку на клетку, рядом с которой пустые клетки. Либо рядом стоят фишки, одна или две. Но тогда надо убрать одну из них. Какое наибольшее количество фишек можно поставить на доску?
№3. Ребус. Имеет ли решение ребус ШИЛО х МЫЛО = 100 000 007
№4. Таблица. Расставьте числа от 1 до 16 в таблице 4х4 так, чтобы все суммы по строкам были одинаковые, а по столбцам разные.
№5. Маркеры. На столе лежат 10 коробок с маркерами. Известно, что если выбрать любые 4 коробки, то из них можно достать черный, красный и фиолетовый маркеры. Докажите, что в некоторых коробках удастся найти маркеры вех трех указанных цветов.
№6. Делители. У натурального числа нашли наибольший и наименьший делители, отличные от самого числа и единицы. Разница между делителями равна 101. Чему равно указанное число?
№7. Тренировка. Два бегуна решили потренироваться. Они разметили себе прямой маршрут, начинающийся у липы и заканчивающийся дубом. Бегуны одновременно стартуют и пробегают с постоянными скоростями весь маршрут от липы до дуба и обратно несколько раз. Известно, что первые две встречи бегунов произошли у одного и того же фонарного столба. А где произойдет 15 встреча?
№8. Рыцари и лжецы. В каждой клетке шахматной доски сидит либо рыцарь, либо лжец. В какой-то момент все заявили: «У меня ровно два соседа рыцаря». Может ли рыцарей и лжецов на доске оказаться поровну? Соседями считаются люди в клетках, имеющих общую сторону.
№9. Квадрат. Двое по очереди ломают палку. После 6 ходов образуется 7 кусков. Второй игрок выигрывает, если может сложить из них контур квадрата. Может ли первый игрок ему помешать? Игроки умеют изменять любое расстояние.
№10. Турнир. После проведения чемпионата России по гандболу в два круга оказалось, что все команды набрали различное количество очков, причем шесть московских команд набрали столько же очков, сколько набрали вместе остальные 12 команд. Докажите, что среди московских команд есть призер чемпионата. (за победу дается 23 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков).